Hyödyllisiä vinkkejä

Voimalausekkeet (vallanilmaisut) ja niiden muuntaminen

Pin
Send
Share
Send
Send


Se toimii wikin periaatteella, mikä tarkoittaa, että monet artikkelimme ovat useiden kirjoittajien kirjoittamia. Tätä artikkelia luotaessa 30 ihmistä työskenteli sen muokkaamisen ja parantamisen parissa, myös nimettömästi.

Tässä artikkelissa käytetään 10. Lähteitä on sivun alareunassa.

Huomautus: Jos joudut ratkaisemaan eksponentiaalisen yhtälön (sellaisessa yhtälössä tuntematon on eksponentissa), lue tämä artikkeli.

Mitä ovat voimalausekkeet?

Termiä ”valtalakien ilmaisut” ei käytännössä löydy matematiikan koulujen oppikirjoista, mutta se esiintyy melko usein ongelmakokoelmissa, etenkin sellaisissa, jotka on tarkoitettu valmistautumaan tenttiin ja esimerkiksi tenttiin. Kun on analysoitu tehtäviä, joissa joudut suorittamaan joitain toimintoja teholausekkeilla, käy selväksi, että voimalausekkeilla tarkoitetaan lausekkeita, jotka sisältävät astetta heidän tietueissaan. Siksi voit itse ottaa tämän määritelmän:

Voimalausekkeet Onko lauseita, jotka sisältävät astetta.

Me annamme valtailmaisun esimerkkejä. Lisäksi me edustamme heitä sen mukaan, kuinka näkymät lukumäärälle kehittyvät luonnollisen indikaattorin tutkinnosta todellisen indikaattorin asteen.

Kuten tiedät, aluksi tunnetaan luonnollisella eksponentilla olevan numeron teho, tässä vaiheessa tyypin 3 2, 7 5 +1, (2 + 1) 5, (−0,1) 4 ,,, 3 · a ensimmäiset yksinkertaisimmat tehonilmaisut. 2 −a + a 2, x 3−1, (a 2) 3 jne.

Sitten lisätään luvun nolla aste ja alkaa ilmetä lausekkeita, joissa asteita on nollaeksponentilla, esimerkiksi 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 −3,2 0, ...

Hieman myöhemmin tutkitaan luvun astetta kokonaisluvun eksponentilla, mikä johtaa voimakkuuslausekkeiden ilmestymiseen kokonaislukuisilla negatiivisilla voimilla, kuten seuraava: 3 −2,, −2 + 2 · b −3 + c 2.

Lukiossa he palaavat taas tutkintoihin. Siihen johdetaan aste, jolla on rationaalinen indikaattori, mikä merkitsee vastaavien voimalausekkeiden ilmestymistä: ,, jne. Lopuksi tutkitaan asioita, joissa on irrationaalisia indikaattoreita, ja niitä sisältäviä lausekkeita:,.

Asia ei ole rajattu lueteltuihin teholausekkeisiin: muuttuja tunkeutuu eksponenttiin ja esimerkiksi sellaiset lausekkeet 2 x 2 +1 tai. Ja kun on tutustuttu logaritmiin, alkaa tapahtua lausekkeita asteilla ja logaritmeilla, esimerkiksi x 2 · logx −5 · x logx.

Joten keksimme kysymyksen, mitä ovat voimailmaisut. Lisäksi opimme muuntamaan ne.

Teholausekkeiden päämuunnostyypit

Teholausekkeilla voit suorittaa minkä tahansa lauseiden identtisistä perusmuunnoksista. Voit esimerkiksi avata hakasulkeita, korvata numeeriset lausekkeet niiden arvoilla, antaa samanlaisia ​​termejä jne. Luonnollisesti tässä tapauksessa on tarpeen noudattaa hyväksyttyä menettelyä toimien suorittamiseksi. Tässä muutamia esimerkkejä.

Laske teholausekkeen arvo 2 3 · (4 2 −12).

Toimintajärjestyksen mukaan suoritamme ensin suluissa olevat toiminnot. Ensinnäkin korvaamme asteen 4 2 sen arvolla 16 (tarvittaessa katso tehon nostaminen), ja toiseksi laskemme eron 16−12 = 4. Meillä on 2 3 · (4 2 −12) = 2 3 · (16−12) = 2 3 · 4.

Korvaa tuloksena olevassa lausekkeessa 2 3: n teho arvolla 8, jonka jälkeen lasketaan tulo 8,4 = 32. Tämä on haluttu arvo.

Joten, 2 3 · (4 2 −12) = 2 3 · (16 −12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.

Yksinkertaista lausekkeita voimalla 3 · a 4 · b −7 −1 + 2 · a 4 · b −7.

Ilmeisesti tämä lauseke sisältää samanlaisia ​​termejä 3 · a 4 · b −7 ja 2 · a 4 · b −7, ja voimme antaa heille: 3 · a 4 · b −7 −1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b −7 −1.

3 · a 4 · b −7 −1 + 2 · a 4 · b −7 = 5 · a 4 · b −7 −1.

Esitä lauseke voimana tuotteena.

Selviytyminen tehtävästä mahdollistaa luvun 9 esittämisen asteen 3 muodossa ja myöhemmin lyhennetyn kertolaskukaavan käytön, neliöiden eron:

.

Tarkkaan tehon lausekkeisiin liittyy myös joukko samanlaisia ​​muunnoksia. Sitten analysoimme niitä.

Työskentele pohjan ja eksponentin kanssa

Perustassa ja / tai indikaattorissa on asteita, joiden muodossa ei ole pelkästään numerot tai muuttujat, vaan jotkut lausekkeet. Esimerkiksi annamme merkinnät (2 + 0,3 · 7) 5−3,7 ja (a · (a + 1) −a 2) 2 · (x + 1).

Samanlaisilla lausekkeilla työskennellessä on mahdollista korvata sekä asteen juuressa oleva lauseke että eksponentin lauseke identtisesti tasaisella lausekkeella muuttujien ODZ: ssä. Toisin sanoen voimme tunnettujen sääntöjen mukaan muuntaa tutkinnon perusteet erikseen ja erikseen - indikaattorin. On selvää, että muutoksen tuloksena saadaan alkuperäisen kaltainen lauseke.

Tällaiset muutokset antavat meille mahdollisuuden yksinkertaistaa lausekkeita asteilla tai saavuttaa muita tarvitsemiamme tavoitteita. Esimerkiksi, edellä mainitussa tehon lausekkeessa (2 + 0,3 · 7) 5−3,7, voit suorittaa toimintoja, joiden lukumäärä on kannassa ja osoittimessa, mikä antaa sinun siirtyä asteeseen 4.1 1.3. Ja sulkemisen jälkeen ja samanlaisten termien laskemisen alemman asteen perusteella (a · (a + 1) −a 2) 2 · (x + 1) saamme yksinkertaisemman voimalakailmauksen 2 · (x + 1).

Tutkinto-ominaisuuksien käyttäminen

Yksi päätyökaluista lausekkeiden muuntamiseksi asteilla on yhtäläisyydet, jotka heijastavat asteiden ominaisuuksia. Muista tärkeimmät. Kaikille positiivisille numeroille a ja b sekä mielivaltaisille reaalilukuille r ja s seuraavat asteominaisuudet ovat totta:

  • a r · a s = a r + s,
  • a r: a s = a r - s,
  • (a b) r = a r b b,
  • (a: b) r = a r: b r,
  • (a r) s = a r

Huomaa, että luonnollisille, kokonaislukuille ja positiivisille eksponenteille numeroiden a ja b rajoitukset eivät välttämättä ole niin tiukat. Esimerkiksi luonnollisilla numeroilla m ja n yhtäläisyys a m · a n = a m + n on totta paitsi positiiviselle a, myös negatiiviselle a ja a = 0.

Koulussa pääpaino valtailmaisimien muutoksissa keskittyy juuri kykyyn valita sopiva ominaisuus ja soveltaa sitä oikein. Lisäksi tutkinnon perusteet ovat yleensä positiivisia, mikä mahdollistaa tutkintojen ominaisuuksien käytön rajoituksetta. Sama pätee asteikkojen muuttujia sisältävien lausekkeiden muunnoksiin - muuttujien sallittujen arvojen alue on yleensä sellainen, että emäkset saavat siihen vain positiiviset arvot, mikä antaa sinun käyttää vapaasti asteiden ominaisuuksia. Yleensä sinun on kysyttävä jatkuvasti itseltäsi, onko tässä tapauksessa mahdollista soveltaa mitään asteen ominaisuuksia, koska ominaisuuksien virheellinen käyttö voi johtaa DLD: n kaventumiseen ja muihin ongelmiin. Yksityiskohtia ja esimerkkejä näistä pisteistä käsitellään artikkelissa lausekkeiden muuntamisessa asteen ominaisuuksien avulla. Rajoitamme tässä muutamia yksinkertaisia ​​esimerkkejä.

Kuvittele lauseke a 2,5 · (a 2) −3: a −5,5 asteena emäksen a kanssa.

Ensin muuntamme toisen tekijän (a 2) −3 ominaisuuden avulla nostamalla voiman tehoksi: (a 2) −3 = a 2 · (−3) = a −6. Alkuvoimalauseke on tässä tapauksessa muodossa 2,5 · a −6: a −5,5. On selvää, että jäljellä on käyttää asteiden kertolaskun ja jaon ominaisuuksia samassa pohjassa, mikä meillä on
a 2,5 a −6: a −5,5 =
a 2,5−6: a −5,5 = a −3,5: a −5,5 =
a −3,5 - (- 5,5) = a 2.

a 2,5 · (a 2) −3: a −5,5 = a 2.

Tehoominaisuuksia muunnettaessa teholausekkeita käytetään sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle.

Etsi teholausekkeen arvo.

Yhtäläisyys (a · b) r = a r · b r, jota sovelletaan oikealta vasemmalle, antaa meille mahdollisuuden siirtyä alkuperäisestä lausekkeesta muodon tuotteeseen ja edelleen. Ja kun asteet kerrotaan samoilla emäksillä, indikaattorit laskevat yhteen:

Alkuperäinen lauseke oli mahdollista muuntaa ja muuten:

.

Annetaan tehon lauseke 1,5 −a 0,5 −6, lisää uusi muuttuja t = a 0,5.

Aste a 1,5 voidaan esittää muodossa 0,5 · 3 ja sitten muuttaa asteen ominaisuuden perusteella asteesta (a r) s = a r · s, jota sovelletaan oikealta vasemmalle, muuntaa se muotoon (a 0.5) 3. Siten 1,5 −a 0,5 −6 = (a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Nyt on helppo ottaa käyttöön uusi muuttuja t = a 0.5, saadaan t 3 −t - 6.

Mitä eksponentiaaliset lausekkeet ovat?

Koulukurssilla vain harvat käyttävät ilmausta "valtailmaisut", mutta tätä termiä löytyy kokoelmista jatkuvasti tenttiin valmistautumiseksi. Useimmissa tapauksissa lause tarkoittaa lausekkeita, jotka sisältävät astetta tietueisiinsa. Tätä heijastelemme määritelmässämme.

Voiman ilmaisu Onko lauseke, joka sisältää astetta.

Tässä on muutama esimerkki voimalausekkeista, jotka alkavat asteesta, jolla on luonnollinen indikaattori, ja päättyen asteeseen, jossa on todellinen ilmaisin.

Yksinkertaisimpia voimalausekkeita voidaan pitää luonnollisella osoittimella olevan luvun asteina: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (- 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 · a 2 - a + a 2, x 3 - 1, (a 2) 3. Ja myös astetta nollaeksponentilla: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Ja asteet kokonaisluvulla negatiivisilla asteilla: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.

On vähän vaikeampaa työskennellä tutkinnolla, jolla on rationaaliset ja irrationaaliset indikaattorit: 264 1 4 - 3 · 3 · 3 1 2, 2 3, 5 · 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 · a 1 2 - 2 · a - 1 6 · b 1 2, x π · x 1 - π, 2 3 3 + 5.

Muuttuja voi olla muuttuja 3 x - 54 - 7 · 3 x - 58 tai logaritmi x 2 l l g x - 5 .

Kysyttäessämme mitä valtailmaisut ovat, keksimme sen. Nyt aloitamme heidän muutoksensa.

Muunna astetta sisältävät fraktiot

Teholausekkeet voivat sisältää fraktioita asteilla tai edustaa sellaisia ​​fraktioita. Minkä tahansa fraktioiden perusmuutokset, jotka ovat luontaisia ​​minkä tahansa tyyppisille fraktioille, ovat täysin sovellettavissa sellaisiin fraktioihin. Toisin sanoen astetta sisältävät fraktiot voidaan pienentää, johtaa uuteen nimittäjään, työskennellä erikseen niiden osoittajan ja erikseen nimittäjän kanssa jne. Näiden sanojen havainnollistamiseksi tarkastellaan useiden esimerkkien ratkaisuja.

Yksinkertaista eksponentiaalista ilmaisua .

Tämä voimalauseke on murto-osa. Työskentelemme sen numeroijan ja nimittäjän kanssa. Laskimessa avaamme suluissa ja yksinkertaistamme sen jälkeen saatua lauseketta käyttämällä voimien ominaisuuksia, ja nimittäjässä esitetään samanlaiset termit:

Ja vaihda nimittäjän merkki asettamalla miinus jakeen eteen :.

.

Astetta sisältävien fraktioiden pelkistys uuteen nimittäjään suoritetaan samalla tavalla kuin rationaalisten murto-osien pelkistys uuteen nimittäjään. Samanaikaisesti löydetään myös lisäkerroin, jakson jako- ja nimittäjä kerrotaan sillä. Suorittamalla tämä toiminto on syytä muistaa, että pelkistäminen uuteen nimittäjään voi johtaa DLD: n kaventumiseen. Tämän estämiseksi on välttämätöntä, että lisäkerroin ei katoa missään muuttujien arvossa alkuperäisen lausekkeen ODZ-muuttujista.

Tuo fraktiot uuteen nimittäjään: a) nimittäjään a, b) nimittäjään.

a) Tässä tapauksessa on melko helppoa selvittää, mikä lisätekijä auttaa saavuttamaan halutun tuloksen. Tämä on kerroin 0,3, koska 0,7 · a 0,3 = 0,7 + 0,3 = a. Huomaa, että muuttujan a (tämä on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko) sallittujen arvojen alueella aste a 0,3 ei katoa, joten meillä on oikeus kertoa annettujen murto-osien numeroija ja nimittäjä tällä lisäkertoimella:

b) Tarkempi nimittäjän tarkastelu paljastaa sen

ja kertomalla tämä lauseke saadaan kuutioiden summa, ts. Ja tämä on uusi nimittäjä, johon meidän on tuotava alkuosa.

Joten löysimme lisätekijän. Muuttujien x ja y sallittujen arvojen alueella lauseke ei katoa, joten voimme kertoa murto-osan osoittajan ja nimittäjän sillä:

a), b).

Astetta sisältävien murto-osien pienentäminen ei ole myöskään mitään uutta: osoittaja ja nimittäjä esitetään tietynä lukuna tekijöinä, ja samat laskurin ja nimittäjän tekijät pienenevät.

Leikkaa fraktio: a) , B).

a) Ensinnäkin, osoitinta ja nimittäjää voidaan pienentää numeroiden 30 ja 45 suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD), joka on 15. Voit myös tietysti pienentää x 0,5 +1 ja. Tässä on mitä meillä on:

b) Tässä tapauksessa samat tekijät numeroijassa ja nimittäjässä eivät ole heti näkyvissä. Saadaksesi ne, sinun on suoritettava alustavat muunnokset. Tässä tapauksessa ne koostuvat nimittäjän tekijän laskemisesta neliöeron kaavan mukaan:

a)

b).

Jakeiden tuominen uuteen nimittäjään ja murto-osien pienentäminen käytetään pääasiassa murto-osien suorittamiseen. Toimet suoritetaan tunnettujen sääntöjen mukaisesti. Lisäämällä (vähentämällä) fraktioita, ne pelkistetään yhteiseksi nimittäjäksi, jonka jälkeen osoittimet lisätään (vähennetään), ja nimittäjä pysyy samana. Tuloksena on fraktio, jonka osoitin on osoittimien tuote, ja nimittäjä on nimittäjien tuote. Jakso fraktiolla on kertominen sitä käänteisellä murto-osalla.

Seuraa vaiheita.

Ensin vähennetään suluissa olevat fraktiot. Tätä varten tuomme ne yhteiseen nimittäjään, joka on, jonka jälkeen vähennämme osoittimet:

Kerro nyt fraktiot:

On selvää, että asteen x 1/2 alentaminen on mahdollista, minkä jälkeen meillä on.

Voit myös yksinkertaistaa tehon ilmaisua nimittäjässä käyttämällä kaavaa neliöero :.

Yksinkertaista tehoilmaisu.

Tätä fraktiota voidaan selvästi vähentää (x 2,7 +1) 2, jolloin saadaan fraktio. On selvää, että x-asteilla on tehtävä jotain muuta. Voit tehdä tämän muuntamalla tuloksena saatu fraktio tuotteeksi. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää jako-asteen ominaisuutta samoilla perusteilla :. Ja prosessin lopussa siirrymme viimeisestä työstä murto-osaan.

.

Ja lisäämme, että monissa tapauksissa on toivottavaa siirtää negatiivisilla eksponenteillä varustetut tekijät osoittajaan nimittäjään tai nimittäjään numeroijaan muuttaen indikaattorin merkkiä. Tällaiset muutokset yksinkertaistavat usein muita toimia. Esimerkiksi tehon lauseke voidaan korvata.

Muunna lausekkeet juurilla ja asteilla

Usein lausekkeissa, joissa on välttämätöntä suorittaa joitain muunnoksia, juuret ovat läsnä myös voimien kanssa murto-eksponenttien kanssa. Jotta tällainen lauseke voidaan muuntaa haluttuun muotoon, useimmissa tapauksissa riittää, että siirrytään vain juuriin tai vain asteisiin. Mutta koska tutkintojen kanssa työskenteleminen on helpompaa, ne yleensä vaihtavat juurista asteisiin. Tällainen siirtyminen on kuitenkin suositeltavaa suorittaa, kun alkuperäisen lausekkeen muuttujien ODZ sallii juurten korvaamisen asteilla ilman tarvetta päästä moduuliin tai jakaa ODZ useisiin väliajoihin (tätä käsitellään yksityiskohtaisesti artikkelissa siirtyminen juurista asteisiin ja päinvastoin).

Esitä lauseke asteena.

Muuttujan x sallittujen arvojen alue määritetään kahdella epätasa-arvolla x≥0 ja, jotka määrittelevät joukon [0, + ∞). Tässä sarjassa meillä on oikeus siirtyä juurista asteisiin :. Tulee vain yksinkertaistaa tuloksena olevaa voimailmaisua kääntämällä asteiden ominaisuuksiin:

.

Muunna astetta muuttujilla mitassa

Rationaalisen indikaattorin kanssa tutustumisen jälkeen otetaan käyttöön irrationaalisella indikaattorilla varustettu tutkinto, jonka avulla voidaan puhua mielivaltaisesta todellisesta indikaattorista. Tässä vaiheessa koulu alkaa opiskella eksponentiaalinen toiminto, joka määritetään analyyttisesti asteella, jonka juuressa on luku, ja indikaattorissa on muuttuja. Joten meillä on edessään voimalausekkeita, jotka sisältävät lukuja tutkinnon pohjalta, ja eksponentissa - lausekkeita muuttujilla, ja luonnollisesti on tarpeen suorittaa tällaisten lausekkeiden muunnokset.

On sanottava, että määritetyn tyyppisten lausekkeiden muuntaminen on yleensä suoritettava ratkaistaessa eksponentiaaliset yhtälöt ja eksponentiaalinen eriarvoisuus, ja nämä tulokset ovat melko yksinkertaisia. Suurimmassa osassa tapauksia ne perustuvat tutkinnon ominaisuuksiin ja niiden pääasiallinen tarkoitus on uuden muuttujan käyttöönotto tulevaisuudessa. Yhtälö 5 2 · x + 1 −3 · 5 x · 7 x −14 · 7 2 · x - 1 = 0 antaa meille mahdollisuuden osoittaa ne.

Ensinnäkin asteet, joissa tietyn muuttujan (tai lausekkeen muuttujilla) ja lukujen summa löytyy, korvataan tuotteilla. Tämä viittaa vasemman laidan lausekkeen ensimmäiseen ja viimeiseen termiin:
5 2 · x · 5 1 –3 · 5 x · 7 x –14 · 7 2 · x · 7 –1 = 0,
5 · 5 2 · x −3 · 5 x · 7 x −2 · 7 2 · x = 0.

Seuraavaksi tasa-arvon kaksi osaa jaetaan lausekkeella 7 2 · x, joka alkuperäisen yhtälön muuttujan x ODZ: ssä ottaa vain positiiviset arvot (tämä on vakiomenetelmä tämän tyyppisten yhtälöiden ratkaisemiseksi, emme puhu siitä, joten keskity seuraavaan lausekkeiden muunnokseen asteilla) ):

Nyt astetta murto-osia pienennetään, mikä antaa.

Lopuksi asteiden suhde samoilla eksponenteilla korvataan suhteiden asteilla, mikä johtaa yhtälöön, joka on ekvivalentti. Tehdyt muunnokset antavat meille mahdollisuuden ottaa käyttöön uusi muuttuja, joka pienentää alkuperäisen eksponenttiyhtälön ratkaisun toissijaisen yhtälön 5 · t 2 –3 · t – 2 = 0 ratkaisuun.

Kuten näette, voimalausekkeiden muuntaminen eksponenttien muuttujilla suoritetaan edellisissä kappaleissa käsiteltyjen periaatteiden mukaisesti.

Muunna lausekkeet asteilla ja logaritmilla

Johdanto logaritmin arkipäivään johtaa siihen, että lausekkeisiin ilmestyvät lausekkeet, jotka sisältävät asteita ja logaritmeja. Selvyyden vuoksi annamme useita tällaisia ​​ilmaisuja:,. Для их преобразования могут применяться все выше разобранные подходы. Но здесь еще непременно понадобятся свойства логарифмов. Преобразованием подобных выражений мы займемся в статье преобразование логарифмических выражений.

Pin
Send
Share
Send
Send